Bu, Barry Garelick ve JR Wilson ile yapılan bir röportaj dizisinin 3. Bölümüdür. Geleneksel Matematik: Öğretmenlerin Kullanırken Suçlu Hissettikleri Etkili Bir Strateji. Bölüm 1 ve 2’yi ve efsanenin geri kalanını çıktığı şekliyle buradan okuyabilirsiniz.
S3: Matematik öğretimine yönelik geleneksel bir yaklaşım, öğrencilere hatalarından ve başarısızlıklarından ders almaları için nasıl fırsatlar sunar? Ve mücadeleyi nasıl ele alıyor?
Barry: Öğrenciler matematik dersinde hata yapacaklar; bu kaçınılmaz. Hatalar, öğrencilerin neler olup bittiğine daha yakından bakmalarını sağlamanın yanı sıra, kavram yanılgılarını ve yaygın hataları belirleme ve düzeltme fırsatı sunar. Ayrıca, öğrencilerin nerede daha fazla uygulamaya ihtiyaç duyduğunu bize bildirerek ve gelecekte kavram yanılgılarını en aza indirmek için belirli kavram ve prosedürlerin nasıl sunulabileceği konusunda bizi düşündürerek öğretmenlere de fayda sağlar.
Bir ders sırasında, ben etrafta dolaşıp ne yaptıklarını kontrol ederken, öğrencilerden defterlerinde problemler yapmalarını isterim. Öğretmenler, sınıfta en çok zorluk çeken öğrencilerin kimler olduğunu bilir ve hata yapma olasılığı yüksek olan noktalara odaklanmalarını sağlar.
İşte yedinci sınıfta gördüğüm bazı yaygın hatalar: “250’nin %8’i kaçtır?” Bir öğrenci yanlışlıkla 0,08 x 250 yerine 0,8 x 250 yazabilir. “% 8’i ondalık olarak nasıl gösteririm?” Hatayı tekrarlayıp 0.8 derlerse %8’i kesir olarak nasıl yazarız diye sorarım. Daha sonra (genellikle) 8/100’ün 0,08 olarak ifade edildiğini göreceklerdir.
Cebir derslerinde yaygın hatalar arasında x^2+x^2=x^4 veya bazen 2x^4 olarak yazmak yer alır. x+x’in ne olduğunu sorabilirim ve 2x’i duymak onlara (öğrendikleri ve kullandıkları) “benzer terimleri” birleştirmeyi ve aynı tabanın kuvvetleri çarpılmadıkça üslerin toplanmayacağını hatırlatabilir. Yani x^2∙x^2, x^4’tür ama x^2+x^2, 2x^2’dir.
Yukarıdakiler, bir kuralı karıştırmaktan veya unutmaktan kaynaklanan hatalardır. Uygulama ve tekrarlama ile öğrenciler bu tür problemleri tanımayı öğreneceklerdir. Bu nedenle, öğrenmelerini pekiştirmek için bu tür sorunları yıl boyunca dahil etmeye devam etmek önemlidir.
Bir başka ve belki de daha önemli hata kaynağı, kavram yanılgılarıdır. Ve bu açıdan, bir öğrencinin bulduğu cevabı nasıl elde ettiğini bulmak genellikle kritiktir. Örneğin, öğrenciler xy/x’i x’leri iptal ederek ve y’yi alarak doğru bir şekilde sadeleştirebilirken, bazen x/xy’nin sıfıra sadeleştirilmiş olduğunu görürdüm. Bunu ilk gördüğümde öğrenciye cevap için sıfırı nasıl elde ettiğini sordum. xy/x durumunda, x’leri iptal etmek onları ortadan kaldırdığına göre, sıfır hiçbir şeyi temsil etmediğinden, bunların sıfıra eşit olması gerektiğini düşündüler.
Bu önemli bir hata – hem bir öğretmen olarak bir kavram yanılgısının nasıl ortaya çıkabileceğini görmem hem de öğrencinin bu kavramdan vazgeçmesi için. Cebirsel bir ifadede neler olup bittiğini görmeleri için sık sık sayıları kullanırım ve öğrencileri bunu yapmaya teşvik ederim. Yukarıdaki örneklerde x ve y yerine 3 ve 5’i koyuyorum. (3∙5)/3 örneğini gören öğrenci, 3’ün 3’e bölündüğünü görüyor, bu da (1∙5)/1 veya 5 şeklinde sadeleşiyor. 3’ler kaybolmuyor, 3/3’ü 1/ olarak yeniden yazıyoruz. 1. Benzer şekilde x/x ve (x+y)/(x+y) için. Hepsi eşittir 1. Bu konuda yine şüphe varsa öğrencilere (3+5)/(3+5) gibi sayıları yerine koymalarını tavsiye ederim.
Şimdi x/xy’ye bakarak, 1/y olarak yazdığımız iptali 1/1y olarak göstereceğim. x’in yok olma eylemi böylece açıklanır: x’ler 1 ile değiştirilir.
Kavram yanılgıları ve hatalar açıklığa kavuşturulsa bile, su yüzüne çıkmaya devam edecekler. Gelecekteki derslerde, öğrencilerin sık sık hata yaptıkları problemleri tekrarlayan problemleri ısınma hareketlerine dahil edeceğim.
Şimdi mücadelenin nasıl ele alındığına dönelim. Kitabımızın önsözünde “Bir problemle boğuşmanın önüne geçmeye çalışıyorum ve öğrencilerin başarılı olmasını hedefliyorum. Benim yol gösterici prensibim, kurbağalamayı öğrenmek için mücadele etmekle boğulmamak için mücadele etmek aynı şey değildir. İkincisi size nasıl yüzüleceğini öğretmez.”
Yeni bir şey öğrenmek biraz mücadele gerektirir. Yeni bir prosedür veya problem çözme tekniğini öğrenmenin ilk aşamaları genellikle taklit etmeyi içerir. Ve kimin taklit yoluyla bir beceri öğrendiğini herkes bilir – örneğin, bir dans adımı öğrenmek, bowling oynamak, golf oynamak, bir enstrüman çalmak – kolay görünen şeyler genellikle göründüğünden daha karmaşıktır. Matematikte de öyle. Öğrenciler ilk başta prosedürü doğru bir şekilde yazmakta zorlanacaklar. Onlar bunda ustalaştıkça, problemlere biraz karmaşıklık getiriyorum. Bu, öğrencilerin küçük ama önemli muhakeme sıçramaları yapmasını gerektirir.
Yine cebirden bir örnek vereyim. Diyagramlar ve diğer teknikleri kullanarak bir tür mesafe/oran problemi hakkında temel ve açık talimat vereceğim. İlk başta “İki araba aynı yerden zıt yönlere gidiyor; biri 60 mph ve diğeri 70 mph gidiyor. 3 saat sonra birbirlerinden ne kadar uzakta olacaklar?” Öğrencilere mesafe = oran x zaman denklemi verildi ve bu tür problemleri nasıl çözeceklerini öğrendiler – bu nispeten basittir.
Bunun gibi bir kaç taneden sonra benzer yapıda bir problem vereceğim ama bu sefer problemin farklı bir kısmı eksik. Spesifik olarak: “İki araba aynı noktadan zıt yönlere gidiyor; biri 60 mph ve diğeri 80 mph gidiyor. Birbirlerinden 420 mil uzakta olmaları ne kadar sürer?” Öğrenciler bununla kesinlikle mücadele edeceklerdir, ancak öğretmenin bazı yönlendirmeleriyle önceki problemin üzerine inşa edebilirler.
“Ne bulmaya çalışıyoruz? Önceki sorunları nasıl çözdük? Buna benzer bir denklem kurabilir misiniz? X’in neyi temsil etmesine izin vereceksin? ve benzeri. Amanda Vanderheyden, kitabında bundan bahsediyor. Anna Stokke ile röportaj. O röportajda Amanda, öğrencilerin yeni şeyler öğrenip anladıkları ve az önce öğrendikleriyle akıcılık oluşturdukları aşama olan “edinme öğretimi”nden bahsediyor. Başlangıç aşamalarında edinim zor olma eğilimindedir, bu nedenle uygun rehberliğin sağlanması özellikle önemlidir. Onları tamamen kendi başlarına bırakmak bazıları için işe yarayabilir, ancak çoğu için çok fazla mücadele zahmetli tepkilerle sonuçlanacaktır. “Onlara yüzmeyi öğretmek” değildir. Sonuçta öğrenciler denklemi 60x + 80x = 420 şeklinde kurarlar ve x = 3 saat alırlar.
Öğrenciler matematiğin belirli bir yönünde ustalığa ulaştıktan ve Vanderheyden’in öğrenmenin genelleme ve uyum aşaması olarak adlandırdığı aşamada olduklarında, daha fazla çalışma gerektiren bu problemlerin varyasyonları üzerinde çalışmalarını sağlamak uygun olur. Böylece, öğrenciler taktik bilgilerini artırdıkça ve bunları diğer benzer problemlere genelleştirip uyarlayabildikçe, mesafe ve hızdaki problemler karmaşıklıkla birlikte artar.
İşte meydan okuma olarak verebileceğim bir problem örneği. Bu problem, yukarıdaki problemlerde olduğu gibi mesafe/oran ile ilgili değildir. Mesafe ve benzin tüketim oranı ile ilgilenir. Problemde yer alan taktikleri öğrenmenin genelleme ve uyarlama aşamasında hem yedinci hem de sekizinci sınıf öğrencileri için bir meydan okuma olarak buraya ekledim. Cebir kullanmadan çözülebilen çok adımlı bir problemdir. (Bir AMC-8 yarışmasından alınmıştır.)
“Karl’ın arabası her 55 milde bir galon benzin tüketiyor ve benzin deposu dolduğunda 14 galon alıyor. Bir gün, Karl dolu bir benzin deposuyla yola çıktı, 350 mil sürdü, 8 galon benzin aldı ve hedefine doğru sürmeye devam etti. Geldiğinde benzin deposu yarı yarıya doluydu. Karl o gün kaç mil sürdü?”
Bu sorun muhtemelen öğrencilerin mücadele etmesine neden olacaktır, ancak sorunu çözmek için taktikleri ve ön bilgileri vardır. Pekâlâ biraz rehberliğe ihtiyaçları olabilir ve ben de bunu sağlamakta tereddüt etmem. Ancak, muhtemelen edinim aşamasında öğrendikleri ve ustalaştıkları taktiklerin hatırlatıcıları ve ipuçları olacaktır.
JR: Barry bu soruyu iyi yanıtlıyor. Kitabın girişindeki ifadesine geri döneceğim. “Bir problemle boğuşmanın önüne geçmeye çalışırım ve öğrencilerin başarılı olmasını hedeflerim. Benim yol gösterici prensibim, kurbağalamayı öğrenmek için mücadele etmekle boğulmamak için mücadele etmek aynı şey değildir. İkincisi size nasıl yüzüleceğini öğretmez.” Çabalarım, öğrencilerin başarılı olmalarına yardımcı olmaya yöneliktir ve onları mücadeleye hazırlamaz. Yüzmeyi öğrenmek, uygun ve verimli tekniğin geliştirilmesinde yardım veya kendi kendini düzeltme ile süreç boyunca öğretilmeyi veya yönlendirilmeyi ifade eder. Devam eden bir su korkusuna veya muhtemelen boğulmaya yol açabileceğinden öğrencileri mücadeleye hazırlamamayı seçiyorum. Matematik ile, matematikten güçlü bir hoşlanmama ve kaçınmaya yol açabilir. Öğrencilerin mücadele etmesi için fırsat sağlamaktansa öğrenci başarısı için fırsatı optimize etmeyi tercih ederim. Mücadeleye hayır, meydan okumaya evet deyin.
Yılın başında, gelen altıncı sınıf öğrencilerimin çoğu, hatalarından ders alma fırsatlarından yararlanmıyor gibi görünüyordu. Öğrencilerin kendi kağıtlarını kontrol etmelerini sağlardım. Yanlış bir cevapları varsa, aceleyle sileceklerini veya üstünü çizeceklerini ve yanlış bir cevaba neden veya nasıl geldiklerini hiç umursamadan doğru cevabı almış gibi görünmek için doğru cevabı yazdıklarını fark ettim. Sanki öğretmeni memnun etmek istiyorlardı. Tipik olarak, sınıf için problemlerden birini çalışmamı isteyip istemediğini sorduğumda kimse yoktu. Bunu bir süre yaptıktan sonra, daha fazla öğrencinin öğrenmelerinin sorumluluğunu aldığını ve başarılı olmaya çabaladığını görmeye başladım. Bir problemi kaçırırlarsa, benden sınıfta çalışmamı istemeye başladılar, böylece kendileri çözemezlerse nerede hata yaptıklarını anlayabilirlerdi. Çoğu zaman, öğrenciler çalışmalarının adımlarında geri dönüp nerede hata yaptıklarını bulabildiler.
Ben Yaparım, Yaparız, Yaparız’ın Sen Yap aşamasında, öğrenciler hatalardan ders almaya teşvik edilir. Sınıfa çalışması için bir problem verilirdi ve sonra sınıf için problem üzerinde çalışırdım. Öğrenciler çalışmalarını kendi kendine kontrol ederdi; Bir problemi doğru bir şekilde çözmedilerse, benzer başka bir problemi denemeden önce yargılayıcı olmayan bir şekilde anında geri bildirim aldılar. Öğrencilerin benzer problemlerde aynı hataları yapmamak için bir problemi neden atladıklarını merak ettiklerini gördüm. Boğulma olasılığı olmadan hatalarından ders alma fırsatından yararlandılar.
Öğrenciler başkalarının hatalarından da öğrenebilirler. Bu nedenle, belirli türde problemlerde insanların yaptığı yaygın hatalara ve bunlardan nasıl kaçınılacağına dikkat çekeceğim. Öğrencilere işaret edeceğim yaygın bir hata, işlem sırası ile ilgilidir. Belirli bir problemde bölme adımı çarpma işleminden önce gelse bile, öğrenci bölme işleminden önce çarpma işlemi yapma eğiliminde olabilir; Toplama adımı, çıkarmadan önce gerçekleştiğinde aynıdır. Çarpma ve bölme ile toplama ve çıkarmanın aynı statüye sahip olduğunu ve hangi işlem önce gelirse onu yapmak gerektiğini vurgulamak isterim; yani, bu tür durumlarda soldan sağa hareket ederiz. 8 – 2 + 5 probleminde önce toplama yapılırsa 8 – 7 = 1 olur. Bu problemde çıkarma adımı toplamadan önce geldiği için yanlıştır. Önce çıkarma yapılırsa 6 + 5 = 11 olur ki bu doğrudur.
Öğrencilerin yaptığı bir diğer yaygın hata, ondalık sayıları toplarken veya çıkarırken ondalık sayıları sıralamamaktır. Ancak ondalık sayıların sıralanması bu tür işlemler için gerekli iken çarpma işlemleri için gerekli değildir. Bir çarpma problemine başlarken bazı öğrencilerin ondalık sayıları sıraladığını görürdüm. Bu tür hatalara hazırlıklıydım ve talimat verirken ve çalışma örnekleri verirken sık sık yaygın hata türlerine ve bunlardan nasıl kaçınılacağına işaret ederdim. Bir öğrencinin yaygın bir hata yaptığını görmek, öğretilebilir bir an sağlayacaktır. Öğrencilere her zaman yanlış bir cevaba sahip olduklarında yapacakları ilk şeyin, ondalık sayıların yerleşimi ile ilgili olarak sorunu yanlış kopyalayıp kopyalamadıklarını kontrol etmek olduğunu söylerdim.
Burada verilen örneklerde, matematik öğretimine yönelik geleneksel yaklaşımın öğrencilere hatalarından ve başarısızlıklarından ders alma fırsatı sağladığını görüyoruz.
Educationrickshaw.com’a bir e-posta abonesi olarak, bu Geleneksel Matematik serisinden ve gelecekteki tüm gönderilerden ve podcast bölümlerinden haberdar olun.
Kaynak : https://educationrickshaw.com/2023/05/09/what-is-traditional-math-part-3/