çözdün mü Gişe rekorları kıranlar! | Matematik

Bugün erken saatlerde size 1980’ler ve 1990’lardan kalma bir öğrenci bilgi yarışması olan Blockbusters’ta kullanılana benzer altıgen bir ızgarayla ilgili aşağıdaki problemi sordum.

Izgara aynı zamanda matematiksel sızma teorisinin bir modelidir – ancak daha sonra bunun daha fazlası.

Aşağıdaki ızgara, bir eşkenar dörtgenin (yani bir elmas şekli) 10×10 altıgen döşemesini ve eşkenar dörtgenin sınırını belirleyen bir dış sırayı göstermektedir. Sağ üstteki ve sol alttaki sınır sırası mavi, sol üstteki ve sağ alttaki sınır sırası beyazdır.

Eşkenar dörtgendeki her altıgeni mavi veya beyaz renklendirirsek, iki şeyden biri olabilir. Ya burada olduğu gibi mavi sınırları birbirine bağlayan bir mavi altıgen yolu vardır:

Veya burada olduğu gibi mavi sınırları birbirine bağlayan mavi altıgenler yolu yoktur:

Eşkenar dörtgende 100 altıgen vardır. Bu altıgenlerin her biri beyaz veya mavi olabileceğinden, eşkenar dörtgendeki beyaz ve mavi altıgenlerin toplam olası konfigürasyon sayısı 2 x 2 x … x 2 yüz kat veya 2’dir.¹⁰⁰yaklaşık 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.

Bu konfigürasyonların kaç tanesinde mavi sınırları birbirine bağlayan bir mavi altıgen yolu vardır?

Çözüm Tam yüzde 50.

Kanıt, mavi sınırlar arasında mavi altıgenlerden oluşan bir yol varsa, hayır beyaz sınırlar arasında beyaz altıgenler yolu. Ve mavi sınırlar arasında mavi altıgenlerden oluşan bir yol yoksa, o zaman orada dır-dir beyaz sınırlar arasında beyaz altıgenlerden oluşan bir yol.

Bu anlayış, Blockbuster’ların bir oyun gibi çalışmasını sağladı: yarışmacılar ya yukarıdan aşağıya ya da soldan sağa doğru soruları doğru yanıtlayarak bir yol oluşturmak zorunda kaldılar. Sağ-sol yolu olması imkansızdı ve bir üst-alt yol ya da hiç yol olmaması, bu da yalnızca bir tarafın kazanacağının garanti edildiği anlamına geliyordu.

Yine de içgörü tam olarak yeterli değil. Ayrıca tüm olası konfigürasyonların tam yarısında mavi bir yol olduğunu kanıtlamanız gerekir. İşte bunu yapmanın bir yolu. Aşağıdaki gibi bazı yapılandırmalarla başlayalım. Mavi sınırları birleştiren mavi bir yolu vardır ve beyaz sınırları birleştiren beyaz bir yolu yoktur.

Şimdi tüm mavileri beyazlara ve tüm beyazları mavilere çevirelim.

Ve son olarak çevirelim, böylece sol üst sol alt olur ve sağ üst sağ alt olur:

Yani mavi sınırları birbirine bağlayan mavi bir yolun olduğu bir konfigürasyonla başladık ve onu mavi sınırları birbirine bağlayan hiçbir mavi yolun olmadığı bir konfigürasyona dönüştürdük. Ve eğer bu prosedürü tekrar edersek (renkleri değiştir, sonra çevir) orijinal konfigürasyona geri döneriz.

Alternatif olarak, sadece şununla bir konfigürasyonla başladığımızı söyleyin: hayır mavi sınırları birbirine bağlayan mavi yol. Demek ki orada oldu beyaz sınırlar arasında beyaz bir yol. “Renkleri değiş tokuş et, sonra çevir” prosedürünü gerçekleştirseydik, içinde bir konfigürasyon oluştururduk. oldu mavi sınırları birbirine bağlayan mavi bir yol. Ve süreci tekrarlayarak başladığımız yere geri dönerdik.

Bu nedenle, seçtiğimiz eşkenar dörtgen konfigürasyonu ne olursa olsun, bu konfigürasyonun bir çiftin parçası olduğu sonucuna varıyoruz: mavi sınırlar arasında mavi bir yola sahip olan ve beyaz sınırlar arasında beyaz bir yola sahip olan.

(Yukarıda bahsedildiği gibi, aynı konfigürasyonun hem mavi sınırlar arasında mavi bir yola hem de beyaz sınırlar arasında beyaz bir yola sahip olması imkansızdır.)

Konfigürasyonlar çiftler halinde geliyorsa, mavi sınırlar arasında mavi yol bulunan konfigürasyonların sayısı, olmayan toplam konfigürasyonların sayısına eşit olmalıdır, dolayısıyla mavi yollu sayı yüzde 50’dir. Ta-dah.

Şimdi, bunun kahve kokusuyla ne ilgisi var?

Orijinal hikayede bahsettiğim gibi, sızma, sıvıların gözenekli malzemelerden nasıl aktığıyla ilgilenen matematiksel bir alandır. Fransız matematikçi Hugo Duminil-Copin, bu alandaki çalışmaları nedeniyle bu ayın başlarında matematiğin en yüksek profilli ödülü olan Fields Madalyasını kazandı.

Altıgen ızgara, bir malzemenin modelidir ve her mavi hücre, örneğin, bir sıvının içinden sızması için bir boşluğun varlığını temsil eder. Sızma teorisyenleri, ızgaranın olası toplam konfigürasyonlarının yüzde kaçının mavi yollara sahip olduğu gibi sorularla ilgileniyorlar.

Bulmacanın gösterdiği gibi, bir altıgenin mavi veya beyaz olma olasılığı 50/50 olduğunda, tüm konfigürasyonların yarısının yolları vardır. Ama bir altıgenin mavi olma olasılığını yüzde 50’den daha az veya daha fazla olarak değiştirdiğimizde ne olur? Ve her altıgen için ikiden fazla olası durumu tanıtmaya ne dersiniz? Bu soruların yanıtları, bilim adamlarının, fizik, biyoloji, ekoloji ve ağ teorisinde uygulamaları olan faz geçişlerinin davranışını anlamalarına yardımcı oldu – altta yatan bir yapı aniden başka bir yapıya dönüştüğünde.

Umarım bu bulmacayı beğenmişsinizdir. İki hafta sonra döneceğim.

İsrail’deki Ben-Gurion Üniversitesi’nden Ariel Yadin’e bu bulmacayı önerdiği için teşekkürler.

Her iki haftada bir Pazartesi günleri buraya bir bulmaca koyarım. Her zaman harika bulmacaların peşindeyim. Bir tane önermek isterseniz, bana e-posta gönderin.