Açı ikiye bölme, çemberler ve oranlarla akıl yürütme


Bu, Anne Watson tarafından Dose of Don serisinde yazılan altıncı makaledir. Blogunda yayınladı burada ve kelimesi kelimesine kopyaladım. Bu serinin arka planı için lütfen Kare Izgaralar Üzerindeki Çizgiler ve Açılar yazısına bakın. Yazısını burada paylaşmama izin verdiği için Anne’ye teşekkür ederim.

Don 6’nın Dozu: Açı ikiye bölme, çemberler ve oranlarla akıl yürütme

Bu, benim (ve umarım, diğerlerinin) Don Steward’ın göreviyle ilgili görevlerin koleksiyonunu derinlemesine araştırdığım çok düzensiz bir dizi yazının altıncısı. Blog ve matematikteki bazı görevlerinden geçen anahtar fikirler hakkında ipler çıkarır. Mümkünse, size görevlere doğrudan bir bağlantı veriyorum; bir görevin bir kısmını çıkarmış olduğum yerde, sizi görevin geldiği ‘ebeveyn’e yönlendiriyorum.

Don görevlerinde çok cömert davrandı ve umarım bu cömertliği ölmeden önce istediği şekilde yani justmaking.com/funraising/jessesteward.


Bu ‘Don Dose’ tadı önceki yazılarımdan farklı. Don’un çalışmasında benim için teşvik edileni takip etmek yerine, onun kendi araştırmasını takip ediyorum. Açılar üzerine bir atölye çalışması için, bir açının teğet oranına göre tanımlanmasına bağlı olan bazı görevler sundu. İlk konuşmamda bundan bahsetmiştim’Don DozuAçıya kare bir ızgarada ifade edilebileceklerle sınırlayarak yaklaşırsanız, o zaman birçok açı ve trigonometrik gerçek ve diğer geometrik içgörülerin özel durumlarda çıkarılabileceği ve tüm olası genellemelerin yapılabileceği bir teorisi vardı. açıları incelenebilir. Kare bir ızgara üzerinde ifade edilebilen ve trig oranları kafes noktalarında oluşturulabilen açılar, örneğin bazı kenar uzunluklarının birbirinin rasyonel katları olarak ifade edilebildiği üçgenlerde. Bunu basitleştirmek için, araştırmayı ilk başta teğet oranı ‘ızgara üzerinde’ olan açılarla sınırladı, bu nedenle açılar oranların tersidir, henüz derece veya radyan olarak ifade edilmemiştir.

Tamam çok uzak?

Sonra açıortayları keşfetmeye başladı. Bu yönü unutmuştum ama masamı toplarken ve karalamalarımı bulurken tekrar buldum. Bulduklarımın çoğu şurada:

Bir açıyı ikiye bölmek için bir pusula/düz kenar yaklaşımı kullanmanızı önererek başlar ve açıortayınızın kafes noktalarından geçip geçmediğini ve nereden geçtiğini gözlemler. Ardından, bulabileceklerinizle ilgili aşağıdaki özet slayt var (tan B/tan 2B için bir yazım hatası bulmak kolaydır).

Açı ikiye bölme, çemberler ve oranlarla akıl yürütme

Şimdi bunu bir yıldan fazla bir süredir bir kenara koymamın nedeni, çift açılı formüller hakkındaki bilgimin, onlarla ilk tanışmamdan 60 yıl sonra bile sağlam olması ve bu, öğrencilerin K ve 2K arasında bir ilişki. Bildiğim bir ilişkiyi ‘hedef’ olarak kullanmadan dürüstçe yeniden kurabilir miyim? Başka bir deyişle, K sorusunu hedefsiz bir problem olarak ele alabilir miyim? Diyagramın özelliklerini seçip mevcut bilgileri kullanarak doğrulayabilirim. Bununla birlikte, bir yarım açının tanjantını bulmak için tanjant çift açı formülünü kullandığımı hiç hatırlamıyorum – açıları ızgarada ikiye bölmek için ihtiyacım olan bilgi. Bazı manipülasyonlardan sonra bunun nasıl yapılacağını öğrendim ve Don’un sunduğu belirli örnekleri bu şekilde geliştirmiş olması gerektiğini ve neden (bunu fark etmiş olabilirsiniz) ‘çalışmak’ için Pisagor üçlülerine ihtiyaç duyduklarını anladım. Ancak çift açılı formüllere aşina olmayan birinin ikiye bölme sorusuna nasıl yaklaşabileceği sorusuna kendim cevap vermedim.

Ortaya ayırma sorusuna yaklaşmanın bir başka yolu da, ters bir mantık yürütmek için daire bilgisini kullanmaktır: eğer açı ikiye bölme bana merkezi verirse, o zaman merkez merkezi bana açıortaylar hakkında ipuçları verecektir. Izgaralar üzerindeki üçgenler, özellikle de bacakları ızgara üzerinde olan dik açılı üçgenler, çeşitli akıl yürütme yolları sunar ve – hey presto! – yarım açının teğet oranı gözlerinizin önünde beliriyor!

Açı ikiye bölme, çemberler ve oranlarla akıl yürütme

Bu akıl yürütme çizgisi, ters tandan daha tanıdık olabilecek bazı düşünce çizgilerine bağlıdır ve Don’un 30 numaralı slaytı sizi oraya götürebilir. Üçgenler ve Pisagor alanları hakkında bilgi sahibi olmaya dayanan bağımsız bir keşiftir.

Özellikle sevdiğim şematik bir yaklaşım:

Açı ikiye bölme, çemberler ve oranlarla akıl yürütme

Yarım açı ile tam açı arasındaki ilişkiyi, merkezler hakkında düşünmeden, bunun yerine oranlarla akıl yürütmenin mümkün olduğunu buldum. İki yarım açının eşit olduğunu (ve dolayısıyla tam açının yarısı olması gerektiğini) göstermek için sadece tanjantlarının eşit olduğunu, yani tanımlayıcı oranlarının eşit olduğunu göstermem gerekiyor. Oranların oluşturulduğu birim uzunlukları önemli değildir. Bunu seviyorum. Benim için, kafes noktalarını kullanarak benzer üçgenler aramakla ilgili. Don’la geçirdiğimiz süre boyunca, John Mason ve ben yıllardır ortalıkta dolaşan bir konuyu gündeme getirdik: oranlarla akıl yürütme çok güçlü olabilir, ancak oranın açıkça önemli bir temel ilişki olarak ‘çıkardığı’ diyagramları nadiren görüyoruz. Oranı ‘göremeyiz’; akıl yürütmeliyiz. Sanırım aynısı daha genel olarak çarpımsal ilişkiler için de söylenebilir; ekleme veya farklılığı ‘gördüğümüz’ gibi, onları da ‘göremeyiz’. Don’un şebeke görevlerinde bunun üzerinde çalıştığını düşünüyoruz, ancak onunla bu konuda hiç konuşmadı. Ancak, bir şey bulduğunu gösteren dört diyagram buldum. Onları web sitesinde bulamıyorum ama belki de doğru yere bakmıyor olabilirim. Onları burada yeniden oluşturdum, çünkü kopyam, dikkat dağıtıcı olabilecek karalanmış çalışmalarla kaplıdır (örneğin, ‘oranları göremiyorum’, ‘3:2’yi hyp boyunca deneyin’ vb.)

Açı ikiye bölme, çemberler ve oranlarla akıl yürütme


Son olarak, eğer buraya kadar geldiyseniz, pedagojik bir soru: Bu dört diyagramdaki varyasyon ve değişmezlik, altta yatan ilişkilerin anlaşılmasına ve genellenmesine nasıl yardımcı oluyor veya bunu engelliyor?


Kaynak : https://www.resourceaholic.com/2021/07/angle-bisection-incircles-and-reasoning.html

SMM Panel PDF Kitap indir